Question

（1）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC、斜边AB为边向外作正方形BCEF、ABMN，如图甲，连

（1）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC、斜边AB为边向外作正方形BCEF、ABMN，如图甲，连接MF，延长CB交MF于D．试观测DF与DM的长度关系，你会发现______．（2）如果将（1）中的△ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时D点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断．（3）如果将（1）中的△ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B点作△ABC的______线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论．请证明在你的作法下结论的正确性．

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Answer 1

（1）DF=DM．

（2）仍具有（1）的结论，即DF=DM．
证明：延长CD，过M作MP⊥CD，交于P，P为垂足．
∵∠MBP+∠ABC=90°，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠BAC．
又∠ACB=∠MPB=90°，AB=BM，
∴△ABC≌△BMP，从而BC=MP
∵BC=BF，∴BF=MP．
又∠PDM=∠BDF，∠DPM=∠DBF，
∴△DBF≌△DPM，∴DF=DM．

（3）高．
证明：如图，延长GD，过M、F作GD的垂线垂足为P、Q．
∵∠MBP+∠BMP=90°，∠ABG+∠MBP=90°，
∴∠BMP=∠ABG．
又∠MPB=∠AGB=90°，AB=BM，
∴△ABG≌△BMP，∴MP=BG．
同理△FQB≌△BGC，
∴FQ=BG，∴MP=FQ．
∵∠FDQ=∠MDP，∠FQD=∠MPD=90°，
∴△FDQ≌△MDP，进而DF=DM．
说明过F作FH∥BM交BD的延长线于H．通过证明△ABC≌△HFB得HF=AB=BM，进而证明△BDM≌△HFD，得出D是FM的中点．