Question

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD=6，AD=2，BC=8，∠B=60°，点E在AB上，点F在BC上，（1）若点G在CD上，△D

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD=6，AD=2，BC=8，∠B=60°，点E在AB上，点F在BC上，（1）若点G在CD上，△DEF是等边三角形，设BE=x，△GEF的边长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）在第（1）小题中，连结AF，若AF⊥EG，求BE的长．

Answer 1

（1）由已知，∠B=∠C，设∠BFE=α，则∠BEF=∠GFC=120°-α，且EF=FG=y，
所以△BEF≌△CFG，所以BE=FC=x，BF=8-x
在三角形BEF中由余弦定理得EF²=BE²+BF²-2BE?BFcosB，
即y²=x²+（8-x）²-2x（8-x）cos60°，化简得：
y＝

3x2?24x+64

，x∈[2，6]．
（2）若EG⊥AF，则AF垂直平分EG，连接AG，则AG=AE=6-x，
又由（1）知CG=BF=8-x，所以DG=6-（8-x）=x-2，AD=2，
则在三角形ADG中，∠ADG=120°，
所以由余弦定理得AG²=AD²+DG²-2AD?DGcos120°，即（6-x）²=4+（x-2）²-2×2（x-2）cos120°，
解得x=

16

5

，所以BE的长为

16

5

．