Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接AF．（1）设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．

Answer 1

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴

AB

BE

＝

EC

FC

即

5

x

＝

8?x

5?y

∴y＝

1

5

(x2?8x+25)（0≤x≤8）；

（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B＝

3

5

，
①若AE=AF，则有cos∠AEF＝

EG

AE

=cos∠B＝

3

5

，即

EF

AE

＝

6

5

∵△ABE∽△ECF，∴

EC

AB

=

6

5

，即

8?x

5

=

6

5

，解得x=2，
②若AF=FE，同理有

5

8?x

=

6

5

，解得x=

23

6

，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0＜2，3，

23

6

＜8，
∴BE的长为2或3或

23

6

．