Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=2．（1）求证：AD⊥平面PQB；（2）求四棱锥P-ABCD的体积（3）在线段PC上是否存在点M，使PA∥平面MQB；若存在，求出PM：PC的值．

Answer 1

解：（1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，PQ是四棱P-ABCD的高，
∵PQ＝

3

，S_菱形ABCD=2²×sin60°=2

3

，
∴V_{四棱锥P-ABCD}=

1

3

×2

3

×

3

＝2．
（3）存在，当

PM

PC

＝

1

3

时，PA∥平面MQB．
由AQ∥BC可得：

AN

NC

＝

AQ

BC

＝

1

2

，
∵

PM

MC

＝

1

2

，∴PA∥MN，
又PA?平面MQB，MN?平面MQB．
∴PA∥平面MQB．