Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，四边形ABCD是矩形，

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是 AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD= 6
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边 形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若 PA=AD=3，CD=6． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求点F到平面PCE的距离； （3）求直线FC平面PCE所成角的大小．

问题补充：题中CD=根号6

Answer 1

（1）设G为AC的中点，连接EG，FG
∵FG为△PCD的中位线
∴FG∥CD∥AE
又∵E为AB的中点
∴AE=FG
∴AEGF为平行四边形
∴AF∥EG
∴AF∥平面PCE
(2)等体积法
设F到平面PEC的距离为h
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥EA
又∵ABCD为矩形
∴EA⊥AD
∴EA⊥平面PAD
∴AEGF为矩形
∵△PAD为等腰RT△
∴PF是P-AEGF的高
所以四棱锥P-AEGF的体积=PF*FG*AF/3=(3√2/2)*(√6/2)*(3√2/2)/3=3√6/4
PE=EC=√11，PC=2√6，余弦定理求cos∠PEC=-1/11，sin∠PEC=2√30/11
正弦定理S△PEC=√30；
三棱锥F-PEC体积=S△PEC*h/3
又因为四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积
所以√30h=9√6/4，则h=9√5/20
所以F点到平面PEC的距离为9√5/20
(3)FC=√42/2
设FC与平面PEC所成的角为α
则α的正弦值=F到平面的距离÷FC的长
sinα=h/FC=9√210/420
α=arcsin(9√210/420)