Question

在三角形ABC中，设a+c=2b，A-C=60度，求sinB的值

Answer 1

根据正弦定理 a/sinA＝b/sinB＝c/sinC
得：a＝（sinA/sinB）*b c＝（sinC/sinB)*b
将其带入已知条件 a+c＝2b中
可得sinA+sinC＝2sinB
根据三角函数和公式
sinA+sinC
＝2sin[(A+C)/2] * cos[(A-C)/2]
∴A+B+C=π
∵sin[(A+C)/2]
＝sin[(π－B)/2]
＝sin（π/2－B/2)
＝cos（B/2)
∴A-C＝60°
∵cos[(A-C)/2]＝cos30°＝（√3）/2
∵sinA+sinC＝√3*cos（B/2)＝2sinB
根据倍角公式 sinB＝2sin（B/2)cos（B/2) √3*cos（B/2)
＝4sin（B/2)cos（B/2) sin（B/2)
＝（√3）/4 cos（B/2)
＝√（1-(（√3）/4)^2)
=（√13）/4
sinB＝2sin（B/2)cos（B/2)=（√39）/8