Question

问两道高一的三角函数的数学题

1.在△ABC中，AB=a，AC=b，以BC为边向形外作等边△BCD，问角∠BAC为何值时，四边形ABDC面积最大？并求其最大值。
2.已知函数f（x）=sin^2（x）+2sinx·cosx+3cos^2（x）（x∈R）
（1）求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x的值。
（2）求函数f（x）的单调递增区间。
需要过程的。

Answer 1

1、解：不管题目的字母用的是否合理，就按照现在题目的情况解吧。
设∠BAC=α，则SΔABC=（absiinα）/2
由余弦定理可得BC²=a²+b²-2abcosα
所以SΔBCD=[a²+b²-2abcosα)sin60º]/2
所以四边形ABDC面积S=SΔABC+SΔBCD=(a²+b²)/2 +absin(α-60º)
因此，当α=150º时四边形ABDC面积最大为S=(a²+b²)/2 +ab
2、解：
（1）f（x）=sin^2（x）+2sinx·cosx+3cos^2（x）
=2+sin2x+cos2x
=2+√2sin(2x+Π/4)
因此，当2x+Π/4=Π/2+2kΠ，即x=Π/8+kΠ时（ 其中k为整数），f（x）有最大值2+√2
当2x+Π/4=3Π/2+2kΠ，即x=5Π/8+kΠ时（ 其中k为整数），f（x）有最小值2-√2
（2）由-Π/2+2kΠ≦2x+Π/4≦Π/2+2kΠ（ 其中k为整数）得-3Π/8+kΠ≦x≦Π/8+kΠ（ 其中k为整数），∴函数f（x）的单调递增区间为[-3Π/8+kΠ，Π/8+kΠ]（ 其中k为整数）.

追问

第一题我自己算了几遍，不对啊

追答

呵呵~~第一题是有问题，关键在SΔBCD的计算上，你应该能看出来。这里就不修改。

Answer 2

1.设∠BAC=α，则SΔABC=（absiinα）/2
由余弦定理可得BC²=a²+b²-2abcosα
SΔBCD=√3(a²+b²)/4-√3absin(60º-α)
因此，当α=150º时四边形ABDC面积最大为S=√3(a²+b²)/4+√3ab
2.上面的解答是正确的。

Answer 3

先回答第二题吧
（1）那个
根据二倍角公式
sin^2(x)=2sinx*cosx、
sin^2(x)=(1-cos2x)/2
cos^2(x)=(1+cos2x)/2
所以
原式=(1-cos2x)/2+sin2x+(1-cos2x)/2
=cos2x+sin2x+2
然后根据辅助角公式
a*sinx+b*cosx=Sqr(a^2+b^2)sin(x+y)、y=arctan(b/a)
( Sqr()是算术平方根的意思、arc就是三角函数的值对应的角)
所以
原式=根号2*sin(2x+π/4)+2
所以最大值是 2+根号2 此时x=π/8+2kπ（k属于整数）
最小值是 2-根号2 此时x=-π/4+2kπ（k属于整数）
（2）由（1）得
函数就是sinx向左移动π/4个单位 然后除以2
所以单调递增区间是【-5π/8,3π/8】

喜欢就给最佳吧
是我第一次回答
呵呵
我也是高一的呢~~
加油啊！