Question

设函数f(x)=根号x'2+1-ax,其中a>=1,证明：f(x)在区间[0,+&)上是单调递减函数

大家能快点解释出来给我号吗？谢谢

Answer 1

证明：f(x)=√(x^2+1) - ax （这应该是原式的正确书写）
则其导函数f'(x)=x /√(x^2+1) - a=[x-a√(x^2+1)] / √(x^2+1)
因为，在区间[0,+&)上，f'(x)的分母=√(x^2+1)>0恒成立，
分子=x-a√(x^2+1)，因为，√(x^2+1)>x，所以a√(x^2+1)>ax，
所以，-a√(x^2+1)<-ax，所以x-a√(x^2+1)<x-ax=x(1-a)，
又因为，x≧0，a≧1，所以x(1-a)≤0，即x-a√(x^2+1)<0，
所以，f'(x)的分母与分子异号，则分式的值为负，
即，当x≧0，a≧1时，恒有f'(x)<0，所以，此时，f(x)为单调递减函数。

望能帮助读者释疑！

Answer 2

这个函数看得不是很清楚。。。
不过一般这种问题的话，是先对f(x)求导数，如果f(x)的导函数在[0,+&),a>=1条件下小于0，那么即可证明f(x)是在该条件下是单调递减函数。。。希望对你有所帮助，O(∩_∩)O哈！