Question

x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围

答案是x+y∈[8√2-3,30),求详细解答过程!!!

Answer 1

x+2y+xy=30,则y=(30-x)/(x+2),因为y>0,(30-x)/(x+2)>0,所以0<x<30.设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.x+y=x+(30-x)/(x+2)=t-2+(32-t)/t=t-2+32/t-1=t+32/t-3……利用基本不等式≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.函数t+32/t在[0,4√2]上递减，在[4√2,+∞）上递增，因为2<t<32，所以t=32时，t+32/t最大，t+32/t-3<30.∴x+y∈[8√2-3,30).</a>

Answer 2

,x+2y+xy=30 得y=(30-x)/(x+2),
x+y=(30-x)/(x+2)+x
设t=x+2，则t∈(2,+∞)，
y=32/t-1∈(0,+∞),则t∈(2,32)
x+y=32/t+t-3,是个正双曲线，在t∈(2,32)之间，取值为（15，30）

追问

可是答案是x+y∈[8√2-3,30)

追答

32/t=t时，该函数有一极值，此时t=4√2，代入函数得极值32/4√2+4√2-3=8√2-3=8*1.414-3<15

Answer 3

解:
当X为0时 Y=15，当Y为0时 X=30 范围是（15，30），最大值和最小值之间。