Question

已知等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D点,在线段AD上取任意一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，

分别交于AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME， ①求证：四边形AEPM为菱形②当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM的面积的一半？

Answer 1

证明：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∵EA=EP，
∴四边形AEPM为菱形．

（2）P为EF中点时，S菱形AEPM= 1/2S四边形EFBM
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN= 1/2EF•EN= 1/2S四边形EFBM．