Question

求函数y = sin x + cos x + 2sinx cos x + 4的最大值和最小值

这道题看了答案后我还是不懂，想请大家帮我注释下这道题的答案。
解：设k = sin x + cos x，则sinx cosx = (k^2 - 1)/2 --------//这步我知道是什么回事
因为：sin x + cos x = √2 sin(x + pi/4)
所以：k ∈[-√2，√2]
y = k + k^2 - 1 + 4 = k^2 + k +3 = (k+1/2)^2 + 11/4 -------//这步我懂
当k = -1/2时，Y最小值=11/4，当k = √2时，Y最大值 = 5 + √2 //这步我也懂
就是中间那两步不懂。

Answer 1

中间两步：
因为：sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)
所以：k ∈[-√2，√2]

【解析】
sinx＋cosx
＝√2(sinx•√2/2＋cosx•√2/2)
＝√2(sinx•cosπ/4＋cosx•sinπ/4)
＝√2sin(x＋π/4)
∵－1≤sin(x＋π/4)≤1
∴－√2≤√2sin(x＋π/4)≤√2
从而：k∈[－√2，√2]

对于函数y＝asinx＋bcosx可以这样变换：
y＝√(a²＋b²) sin(ωx＋φ)．

最后，希望能帮到你！

Answer 2

中间那两步的目的是确定k的取值范围，
k=sin x + cos x = √2 sin(x + pi/4)
而|sin(x + pi/4)|<=1；
所以：k ∈[-√2，√2]
这样k的取值范围就确定了

Answer 3

√2(√2/2*sinx+√2/2*cosx)
=√2(cos pi/4*sinx+sin pi/4*cosx)
sin x + cos x = √2 sin(x + pi/4)
是这个吗

Answer 4

sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)=k，而√2 sin(x + π/4)的最大值是
√2 ，最小是-√2（sin(x + π/4)看成一个整体，最大值为1，最小值是-1） 所以：sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)=k ∈[-√2，√2] ，补充一下sin x + cos x = √2（√2/2sin x +√2/2 cos x）
=√2（√2/2sin x +√2/2 cos x）
=√2（sin x cos pi/4 + cos x sin pi/4）
=√2sin(x + pi/4)，用的是辅助角法

Answer 5

sin x + cos x =√2/2sin x +√2/2 cos x =sinx cos pi/4+cosx sin pi/4=√2 sin(x + pi/4)
即sin(x + pi/4)∈[-1，1],即可得了上面的结果

Answer 6

前面提取一个根号2。后面就可以用公式推断了。