Question

已:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC. 求证：（1）AM平分∠DAB （2）DM⊥AM (3)AD=AB+DC

Answer 1

分别延长DM、AB相交于N，
∵∠ABC=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠MDC=∠N，
∵DM平分∠ADC，∴∠MDC=∠MDA，
∴∠MDA=∠N，
∴AD=AN，
又M为BC中点，∴MC=MB，
又∠C=∠MBN=90°，∠CMD=∠BMN，
∴ΔMCD≌ΔMBN，∴DM=MN，BN=CD，
∴AM平分∠DAB，AM⊥DM(等腰三角形三线合一)。
AD=AN=AB+CD。

Answer 2

（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．

（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．

（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
DM=DM
EM=CM
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．

Answer 3

过M点做MN∥CD，交AD于N
（1）∵∠B=∠C=90°
∴AB∥CD
∵MN∥CD
∴MN∥AB
∵DM平分∠ADC
∴∠ADM=∠CDM
∵MN∥CD
∴∠CDM=∠NMD
∴∠ADM=∠NMD
∴MN=DN
∵MN∥CD∥AB且M为BC中点
∴N为AD中点，即DN=AN
∴MN=AN
∴∠NAM=∠AMN
∵MN∥AB
∴∠AMN=∠BAM
∴∠NAM=∠BAM
∴AM平分∠DAB
（2）∵AB∥CD
∴∠DAB+∠ADC=180°
∵DM平分∠ADC且AM平分∠DAB
∴∠ADM+∠DAM=90°
∴∠DMA=90°即DM⊥AM
（3）∵MN为直角梯形ABCD中位线
∴MN=1/2（AB+CD)
2MN=AB+CD
∵MN=DN=AN
∴AD=2MN
∴AD=AB+CD

Answer 4