Question

积分 sin^4xcos^2x dx

利用三角学解以下积分(如图)
http://i36.photobucket.com/albums/e20/xx123321/111.png
Hints: sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2

Answer 1

∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C

解：∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx

=∫ ((1-cos2x)/2)^2*((cos2x+1)/2) dx

=1/8∫ (1-cos2x))^2*(1+cos2x) dx

=1/8∫ (1-cos2x-(cos2x)^2+(cos2x)^3) dx

=1/8∫ 1 dx-1/8∫ cos2x dx-1/8∫ (cos2x)^2 dx+1/8∫ (cos2x)^3 dx

=1/8*x-1/16*sin2x-1/8∫ (cos4x+1)/2 dx+1/8∫ (1-(sin2x)^2)*cos2x dx

=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16∫ (1-(sin2x)^2)dsin2x

=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16*sin2x-1/48*(sin2x)^3+C

=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C

扩展资料：

1、不定积分的性质

（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：

∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：

∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx

2、不定积分公式：∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、

3、三角函数变换公式：sin2A=2sinAcosA、cos2A=2*(cosA^2)-1=1-2(sinA)^2

4、例题

（1）∫4*cosxdx=1/4*sinx+C

（2）∫2*sinxdx=-1/2*cosx+C

（3）4(sinx)^2=2*(1-cos2x)

（4）3(cosx)^2=3/2*(1+cos2x)

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

方法1：

原式=∫sin⁴x cos²x 

=∫sin⁴x (1 - sin²x) dx 

=∫(sin⁴x - sin^6x) dx 

= ∫sin⁴x dx - ∫sin^6x dx

后面的看附图，自己整理吧

方法2：

原式=∫sin⁴x cos²x dx

=∫sin²x (sinxcosx)² dx

=∫sin²x * (sin2x / 2)² dx

=1/4 ∫(1 - cos2x)/2  * ( 1 - cos4x)/2 dx

=1/16 ∫(1 - cos2x)  * ( 1 - cos4x) dx

=1/16 ∫(cos4xcos2x - cos2x  - cos4x + 1) dx

=1/16 ∫((cos6x + cos2x) / 2 - cos2x  - cos4x + 1) dx

=1/16 [ sin6x / 12 - sin2x / 4  - sin4x / 4 + x]  + C

= sin6x / 192  -sin2x / 64 - sin4x / 64 + x / 16  + C

Answer 3

请参照；图片

Answer 4

我用[代替积分符号，我没有公式编辑器打不了。[sin^4xcos^2xdx=[sin^2x(sin2x/2)^2dx=-1/8[(sin2x)^2dcos2x=-1/8[(1-(cos2x)^2)dcos2x=-1/8(cos2x-1/3(cos2x)^3)

Answer 5

∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C

解：∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx

=∫ ((1-cos2x)/2)^2*((cos2x+1)/2) dx

=1/8∫ (1-cos2x))^2*(1+cos2x) dx

=1/8∫ (1-cos2x-(cos2x)^2+(cos2x)^3) dx

=1/8∫ 1 dx-1/8∫ cos2x dx-1/8∫ (cos2x)^2 dx+1/8∫ (cos2x)^3 dx

=1/8*x-1/16*sin2x-1/8∫ (cos4x+1)/2 dx+1/8∫ (1-(sin2x)^2)*cos2x dx

=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16∫ (1-(sin2x)^2)dsin2x

=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16*sin2x-1/48*(sin2x)^3+C

=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C