Question

1/1*2+1/2*3+1/3*4+......+1/2013*2014=?

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Answer 1

1/1*2+1/2*3+1/3*4······+1/2013*2014

=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+....+（1/2013-1/2014）

=1-1/2014

=2013/2014

扩展资料：

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。

原式=1/3 *[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94

参考资料：裂项法_百度百科

Answer 2

直接套用公式n*1/(n+1)=1/n-1/(n+1),每项拆分后的后一项与下一项的前项消去了.如1/(1*2)+1/(2*3)=1-1/2+1/2-1/3=2/3.所以结果为1-1/2014=2013/2014

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Answer 3

1/1*2+1/2*3+1/3*4······+1/2013*2014
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+....+（1/2013-1/2014）
=1-1/2014
=2013/2014
大概就是这么个情况。

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Answer 4

1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/2012-1/2013+1/2013-1/2014=1-1/2014=2013/2014
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Answer 5

直接套用公式n*1/(n+1)=1/n-1/(n+1),每项拆分后的后一项与下一项的前项消去了.如1/(1*2)+1/(2*3)=1-1/2+1/2-1/3=2/3.所以结果为1-1/2014=2013/2014