Question

已知abc都是正数,求证3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)

Answer 1

a²+b²+c²-ac-ab-bc=（a﹣b）²/2+（a-c)²/2+(b-c)²/2≥0
所以 (a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥ac+ab+bc+2ab+2ac+2bc=3(ab+bc+ca)
(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+2（a²+b²+c²）=3（a²+b²+c²）

Answer 2

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac = (a²+b²)/2+(b²+c²)/2+(c²+a²)/2+2ab+2bc+2ac ≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ac = 3(ab+bc+ca)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac ≤a²+b²+c² + 2(a²+b²) +2(b²+c²) + 2(c²+a²)
= 3(a²+b²+c²)
所以3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)²≤3(a²+b²+c²)