Question

设a,b,c为正数，求证：(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b<=a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab(用排序不等式证明

Answer 1

不妨设a≥b≥c＞0,则a^3≥b^3≥c^3,1/bc≥1/ac≥1/ab
则左式为顺序和，即：
a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥a^2/c+b^2/a+c^2/b(乱序和)
a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥b^2/c+c^2/a+a^2/b(乱序和)
两式相加，2(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/c+(b^2+c^2)/a+(c^2+a^2)/b
两边除以2，即(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b。

Answer 2

不知道什么是排序不等式，但是可以证明出来这个结论：
两边同时乘以2abc,那么即要证明：2(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2)ab+(b^2+c^2)bc+(c^2+a^2)ca.
这样只需证明a^4+b^4 >= (a^2+b^2)ab即可，
把右边的移到左边，即是证明(a^3-b^3)(a-b)>=0
得证

Answer 3

因为a,b,c都为正数，所以[（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca)]/2 ≥ 根

号[（a的三次方/bc）*（b的三次方/ca）]，去掉根号得
[（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）]/2 ≥ ab/c ---1式
同理可得[（b的三次方/ac）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ bc/a ---2式
[（a的三次方/bc）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ ac/b ---3式
把1式，2式，3式相加得
（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥

(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) , 又

因为 [(ab/c) + (bc/a)] ≥ 根号 2*[(ab/c) * (bc/a)]，再去掉根号得

(ab/c) + (bc/a) ≥ 2b ---4式
同理可得 (bc/a) +(ac/b) ≥ 2c ---5式
(ab/c) + (ac/b) ≥ 2a ---6式
再把4式，5式，6式相加得2*[(ab/c) + (bc/a) +(ac/b)] ≥ 2(a+b+c)
即(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) ≥ a + b + c
又因为（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥ (ab/c)

+ (bc/a) +(ac/b) ,
所以（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab）≥a+b+c