Question

设动直线x=m与函数f(x)=x三次方,g(x)=lnx的图像分别交于M、N则|MN|的最小值为答案：1/3*（1+ln3)求过程

设动直线x=m与函数f(x)=x三次方,g(x)=lnx的图像分别交于M、N则|MN|的最小值为答案：1/3*（1+ln3)求过程

Answer 1

画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离。设F（x）=f(x)-g(x)=x*x*x - lnx ， 求导得：F'(x)=3*x*x - 1/x 。这个容易证明F（x）在0-1区间和1-无穷大区间都是大于零的，令F'(x) =0得到x=1/3的三次方根，F'(x)在0-1/3的三次方根区间内小于0，在1/3的三次方根-无穷大区间大于0，即是函数F(x)先减后增，在1/3的三次方根处取得最小值，代入x=1/3的三次方根，得到 后面的答案1/3 -1/3*ln1/3 = 1/3*(1-ln1/3)=1/3*(1+ln3)

追问

这个容易证明F（x）在0-1区间和1-无穷大区间都是大于零的为什么？

追答

首先 lnx 有意义得到 x>0 ,注意到 f(x) 和 g(x)都是增函数，且 x=1的时候，lnx=0.
在0-1区间 f(x)>0>ln(x),在1-正无穷区间 F'(x)=3*x*x-1/x>3-1>0,所以F(x)>F(1)=3>0.
这个主要是为了把绝对值符号去掉，以便使讨论的情况少一点，自己也可以画图看看

Answer 2

解:直线x=m与f(x)和g(x)的交点为(m,m^3)和(m,lnm)
两交点间的距离为d=√[(m-m)^2+(m^3-lnm)^2]=√[(m^3-lnm)^2]=Im^3-lnmI
因m>0，当0<m<1时，0<m^3<1，lnm<0，所以m^3>lnm。
当1≤m<e时，1≤m^3<e^3，0≤lnm<1，所以m^3>lnm。
当m≥e时，m^3≥e^3，lnm≥1，e^(m^3)>m，所以m^3>lnm。
d=m^3-lnm，
令d'=3m^2-1/m=0，得到m=1/3^(1/3),
d"=6m-1/m^2=6*1/3^(1/3)-3^(2/3)=3^(2/3)>0
故当m=1/3^(1/3)时,d有最小值。
d最小=1/3-ln[1/3^(1/3)]=1/3+ln3/3=(1+ln3)/3