Question

如图,已知三角形abc,ab等于6,ac等于8,点d是bc上一动点,以ad为直径的圆心o分别交a

，ac于点e，f
（1）如图17-1，若角aef等于角c，求证：bc与圆心o相切；
（2）如图17-2，若角bac等于90度，bd长为多少时，三角形aef与三角形abc相似？

Answer 1

（1）

证明：

连接DF，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AFD=90°，

∴∠C+∠FDC=90°（三角形外角等于不相邻两个内角和），

∵∠AEF=∠ADF（同弧所对的圆周角相等），

  ∠AEF=∠C，

∴∠ADF=∠C，

∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，

即∠ADC=90°，

∴BC是⊙O的切线。

（2）

当BD=5时，△AEF∽△ABC。

解：【推出BD=5】

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，

∴BC=10（根据勾股定理），

∵∠EAF=90°，

∴EF是⊙O的直径，

若△AEF∽△ABC，

则∠AEF=∠B，

∴EF//BC，

∴AE/BE=AF/FC=AO/OD=1/1,

∴AE=3，AF=4，则EF=5，

∵OE是△ABD的中位线，

∴BD=2OE=EF=5 。

【此题解法很多】

【证明：当BD=5时，△AEF∽△ABC】

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，

∴BC=10，

∵BD=5，

∴AD是Rt△ABC的斜边中线，

∴AD=BD=5，

∴∠B=∠BAD，

∵∠EAF=90°，

∴EF是⊙O的直径，

∴EF和AD交于O，

∵OA=OE，

∴∠AEF=∠BAD，

∴∠B=∠AEF

又∵∠EAF=∠BAC，

∴△AEF∽△ABC（AA）。