Question

P是三角形ABC内的一点，PB=PC，角PBA=角PCA.求证：AP平分角BAC

Answer 1

【证法1】：

过点P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，

则∠BDP=∠CEP=90°，

又∵∠PBA=∠PCA，即∠PBD=∠PCE，

     PB=PC，

∴△PBD≌△PCE（AAS），

∴PD=PE，

∴点P在∠BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），

∴AP平分∠BAC。

【证法2】

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∵∠PBA=∠PCA，

∴∠PBC+∠PBA=∠PCB+∠PCA，

即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

又∵PB=PC，AP=AP，

∴△ABP≌△ACP（SSS），

∴∠BAP=∠CAP，

∴AP平分∠BAC。

Answer 2

因为AP=AP,PB=PC,角PBA=角PCA,根据全等三角形的边边角定理，三角形APB全等于三角形APC.所以角BAP=角CAP.所以AP平分角BAC！