Question

∫ 1/(1+x^3) dx 是多少。详细步骤是？谢谢！

Answer 1

这个要自己用待定系数去配。因为1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)
所以先令1/(1+x^3)=A/(1+x)+(Bx+C)/(1-x+x^2)
通过通分化简对比左右两边分子得：A+B=0，-A+B+C=0，A+C=1
求得A=1/3，B=-1/3，C=2/3
所以，∫[1/(1+x^3)]dx=(1/3)∫[1/(1+x)]dx+∫[(-x/3+2/3)/(1-x+x^2)]dx
=(1/3)∫[1/(1+x)]dx-(1/6)∫[(2x-1)/(1-x+x^2)]dx+(1/2)∫[1/(1-x+x^2)]dx
=(1/3)ln|x+1|-(1/6)ln|x^2-x+1|+(1/√3)arctan[(2x-1)/√3]+C
=(1/3)ln[|x+1|/√(x^2-x+1)]+(1/√3)arctan[(2x-1)/√3]+C

Answer 2

1/(1+x³)=1/(1+x)(1-x+x²)=1/3(1+x)-(2x-1)/6(x²-x+1)+1/2(x²-x+1)
所以原式=1/3*ln(1+x)-1/6*ln(x²-x+1)+1/2∫1/(x²-x+1)dx
[这里是当x>-1时，如果x<-1那么就是-1/3*ln-(1+x)],前面两项很容易，这里重点介绍下第三项
首先有这么个公式：∫1/(x²+a²)=1/a*arctan(x/a) (具体过程你可以自己算，设x=atanθ就可求得)
那么∫1/(x²-x+1)dx =∫1/[(x-1/2)²+3/4]dx,我想剩下的你自己应该能求了吧。
希望能对你有所帮住，有不理解的地方再问我。