Question

已知抛物线C:y^2=2px上一点p(4,m)到其焦点F的距离为5，求实数m和p.已知点Q（3，0），点A在抛物线上，

已知抛物线C:y^2=2px上一点p(4,m)到其焦点F的距离为5，求实数m和p.已知点Q（3，0），点A在抛物线上，问是否存在垂直于x轴的直线l被以AQ为直径的圆截得的弦长为定值？

Answer 1

解：由4+p/2=5得，p=2，则抛物线C：y^2=4x，把P点坐标带入，则m=4倍根号2或-4倍根号2
假设存在存在垂直于x轴的直线l：x=t被以AQ为直径的圆截得的弦长CD为定值，设A（x，y），则圆心为M（（3+x）/2,y/2）,半径为r=根号[（x-3）^2+y^2]/2=[根号x^2-2x+9]/2,圆心到直线l的距离为d=|(3+x)/2-t,根据勾股定理（CD/2)^2=r^2-d^2，即CD=2倍根号[(t-2)x-t^2+3]，显然当x的系数为0时，弦长为定值，即t=2，所以假设成立，即存在垂直于x轴的直线l被以AQ为直径的圆截得的弦长为定值，直线为x=2