考研，高等数学，数学分析 请用中值定理证明下图不等式
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令f(x)=lnx,
g(x)=sqrt(x), 那么
f'(x)=1/x,
g'(x)=1/[2sqrt(x)],
根据柯西微分中值定理，得
[f(b)-f(a)]/[sqrt(b)-sqrt(a)]=f'(c)/g'(c)=2/sqrt(c)<
[sqrt(b)+sqrt(a)]/sqrt(ab), 这里a<c<b, 所以原不等式成立
g(x)=sqrt(x), 那么
f'(x)=1/x,
g'(x)=1/[2sqrt(x)],
根据柯西微分中值定理，得
[f(b)-f(a)]/[sqrt(b)-sqrt(a)]=f'(c)/g'(c)=2/sqrt(c)<
[sqrt(b)+sqrt(a)]/sqrt(ab), 这里a<c<b, 所以原不等式成立
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