Question

用中值定理，证明不等式

当x>0时,e^x>e·x

Answer 1

证明:
构造函数
f(t)=(e^t)-et. t＞0.
求导f'(t)=(e^t)-e.
[[[1]]]
当0＜x＜1时,
在区间[x, 1]上,由中值定理可得
f(1)-f(x)=(1-x)f'(ξ), (ξ∈(x,1))
∵0＜x＜ξ＜1.
∴f'(ξ)=(e^ξ)-e＜0.
∴(1-x)f'(ξ)＜0
即f(1)-f(x)＜0
∴f(x)＞f(1)=0.
即当0＜x＜1时,恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
[[[2]]]
当x=1时,显然有e^x=ex.
[[[3]]]
当x＞1时.在区间[1,x]上,由中值定理可得
f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ), (1＜ξ＜x)
易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e＞0
∴(x-1)f'(ξ)＞0
∴f(x)＞f(1)=0
∴当x＞1时,恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
综上可知,原不等式成立

Answer 2

f(x)=e^x 在[1,x]连续，(1,x)可导
f'(ξ)=[f(x)-f(1)]/(x-1)
e^ξ=[e^x-e]/(x-1)>e ξ>1
∴当x>1,e^x>ex

追问

审题，是大于0，不是大于1

追答

应该是题目有点问题 ，是大于等于
如果x>0
分拆x>1,上面已经证明
00
f(x)单调递增
f(x)0,e^x>=ex

Answer 3

宝贝儿，当x=1时，它们相等啊。。。。。。。。是不是要证明 e^x>=e*x 啊？？？？？