Question

设f是集合A上的满射，则f一定是双射。该命题对吗，举例说明

Answer 1

既是单射，又是满射，才是双射。
f：A-->B A={1,2,3} B={4}
1->4
2->4
3->4
这个是满射，但不是双射。

追问

哥们，你理解错了题意，f是A到A的满射

追答

自身集合映射就没问题了，根据抽屉原理，不可能存在多对一的情况。

追问

要怎么说明呢

追答

设元素个数为n，反证法：
假设某两个元素映射为同一元素p，则余下的n-2个元素至多映射为n-2个元素，这些象的集合的个数再加上p至多有n-1个，则有一个元素没有原象，f不是满射。
对了，想起来了，强调一点，这是对A是有限元才成立的。若A是无限元素集，此结论仍不成立：例如对于N，f：
1,2,3->1
4,5,6->2
7,8.9->3
……
这样的话，f仍然不是双射。