Question

已知三阶A矩阵1，2，3;0，0，x;0，0，0有3个线性无关的特征向量，求x 的值

Answer 1

x = -3/2 或 0
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A的特征值为 λ1 = 1，λ2 = 0
设A的特征向量为 v = (v1 v2 v3)，则

1）当 λ1 = 1 时，
v1 + 2v2 + 3v3 = v1
x•v3 = v2
化简得 (2x+3)•v3 = 0
(i) 如果 x = -3/2，则解为 (a -3b/2 b) ............ a, b 为任意实数
即 (1 0 0) 和 (0 -3 2)
(ii) 如果 x ≠ -3/2，则解为 (a 0 0)
即 (1 0 0)

2) 当 λ1 = 0 时,
v1 + 2v2 + 3v3 = 0
x•v3 = 0
(iii) 如果 x ≠ 0，v3 = 0，则解为 (a -2a 0)
即 (1 -2 0)
(iv) 如果 x = 0，则解为 (-2a-3b a b)
即 (2 -1 0) 和 (3 0 -1)

因此，如果有3个线性无关特征向量，则只能是 (i) + (iii) 或 (ii) + (iv)
即 x = -3/2 或 0
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有问题欢迎指正 ¡(≥∇≤)¡