Question

设n为自然数,求证:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!

希望能用反证法或放缩法解一下，在下谢谢了！！！！！！！！！！！！
好的加分！

Answer 1

证明这个东西，可以在草稿从结论出发，逆推。然后做下来。
证：因为 （2n）！/（2n）^n ≥1
（2n）！/（n）^n ≥2^n
1*3*5*...*(2n-1) * 2*4*6*...*(2n)/（n）^n ≥2^n
1*3*5*...*(2n-1)/（n）^n≥1/n!
((2n-1)/n)×((2n-3)/n)×...×(1/n)≥1/n!
(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!
得证

追问

（2n）！/（n）^n ≥2^n
这个告诉我为什么，你就是最佳答案了，谢谢哈！

追答

因为 （2n）！/（2n）^n ≥1
不等式两边同×2^n
（2n）！/（n）^n ≥2^n

追问

恩，不好意思这步1*3*5*...*(2n-1)/（n）^n≥1/n!
我不太懂，谢谢！！

追答

因为 1*3*5*...*(2n-1) * 2*4*6*...*(2n)/（n）^n ≥2^n
两边同÷ 2*4*6*...*(2n)
左边就是1*3*5*...*(2n-1)/（n）^n
右边就是2^n ÷[2*4*6*...*(2n) ] =2^n ÷[1*2*3*...*n*2^n]= 1/n!
所以 1*3*5*...*(2n-1)/（n）^n≥1/n!

Answer 2

等于2576

Answer 3

（2n）！/（2n）^n ≥1 ，为什么？