Question

高三数学题 高手进 帮帮忙啊 回答好可以再加分的 谢谢

已知正项数列{an}满足a1=1，an+1的平方减去（n倍的an+1乘以an） 再减去n+1倍的an的平方，其中n为正整数（水平有限只能这样叙述了）
1求{an}的通项公式
2若数列{bk}满足bk=（2k-1）an / k!(n-k)! 求bk的前n项和sn
3若数列{cn}满足cn=1/an 其前n项的和为Tn 求证Tn<43/24

Answer 1

1〉方程除以an^2为一元二次方程得(an+1)/an=n+1 再累乘an=n! 2〉bk=(2k-1)Ck n 3〉e=1+1+1/2!…+1/n!+… 则Tn<e-1=1.79<43/24

Answer 2

a²(n＋1)－ana(n＋1)－(n＋1)an²=0
[a(n＋1)＋an][a(n＋1)－nan]=0
则a(n＋1)－nan=0，即：[a(n＋1)]/[an]=n。累乘，得：
an=(n－1)！。至此，余下的问题就容易解决了。

追问

好像没那么好解决啊 呵呵

追答

1、a²(n＋1)－nana(n＋1)－(n＋1)an²=0
[a(n＋1)＋an][a(n＋1)－(n＋1)an]=0
则a(n＋1)－(n＋1)an=0，即：[a(n＋1)]/[an]=n＋1。累乘，得：
an=n！
2、bk=(2k－1)an/[k!(n－k)!]=(2k－1)×[n!/k!(n－k)!]=[2k－1]×[n!/k!(n－k)!]=[C(k,n)]×[(2k－1)]，所以bk=[C(k,n)]×[2k－1]，设Sn=1×C(1,n)＋3×C(2,n)＋5×C(3,n)＋…＋(2n－1)×C(n,n)，倒序相加，有：2Sn=2n[C(1,n)＋C(2,n)＋C(3,n)＋…＋C(n,n)]=(2n)×[2^n－1]，则Sn=n(2^n－1)，即bn的前n项和是Sn=n[2^n－1]；
3、Cn=1/(an)=1/[n!]，估计是用裂项相消法来放缩求和。。

Answer 3

1
(an+1)^2-nan+1an-(n+1)an^2=0
(an+1-nan/2)^2=[(n+1)+n^2/4]an^2
an+1=[(n+2)/2+n/2]an=(n+1)an
an=nan-1
an-1=(n-1)an-2
..
a2=2a1
a1=1
an=n!
2
bk=(2k-1)n!/k!(n-k)!
b1=an/(n-1)!
b2=3an/[(n-2)!2!]
b3=5an/[(n-3)!3!]
..
bn-2=an(2n-5)/2!(n-2)!
bn-1=an(2n-3)/(n-1)!
bn=(2n-1)an=2(n-1)an+an
b1+bn-1=an2(n-1)/(n-1)!
b2+bn-2=an2(n-1)/[(n-2)!2!]
b1+b2+..+bn=(n-1)[1+n(n-1)/2+...]=(n-1)*2^n+1

3
cn=1/an=1/n!
c1=1
c2=1/2
c3=1/6
c4=1/24
c5=1/(24*5)
c6<1/(24*5^(6-4))
cn<1/(24*5^(n-4))

S3=1+1/2+1/6+1/24=5/3=42/24
n>4时
Sn<42/24+1/(24*5)*[(1-1/5^(n-3))/(1-1/5)]
lim(n→∞)[(1-(1/5)^(n-3)]=1
Sn<42/24+1/24*4
Sn<42.25/24
所以Sn<43/24

Sn<44/

追问

能把 第二题的b1+b2+..+bn=(n-1)[1+n(n-1)/2+...]=(n-1)*2^n+1
一步写清楚 我给你加分 我急等用

追答

b1=an/(n-1)!
b2=3an/[(n-2)!2!]
b3=5an/[(n-3)!3!]
..
bn-2=an(2n-5)/2!(n-2)!
bn-1=an(2n-3)/(n-1)!
bn=(2n-1)=2(n-1)+1
b1+bn-1=(n-1)2n!/(n-1)!=(n-1)*[Cn,1+Cn,n-1]
b2+bn-2=(n-1)2n!/[(n-2)!2!]=(n-1)*[Cn,2+Cn,n-2]
..
n偶数时b(n/2)=(n-1) n!/[(n/2)!(n/2)!] =(n-1)[Cn,(n/2)]
n奇数时b(n-1)/2+b(n+1)/2=(n-1)2 n!/[[(n-1)/2]![(n+1)/2]!]=(n-1)[Cn,[(n-1)/2] + Cn, [(n+1)/2] }
b1+b2+..+bn=(n-1)*[Cn,0 +Cn,1+Cn,2+..+Cn,n]+1=(n-1)*2^n+1

追问

谢谢了 再给你追加十分行吧