Question

求详解:高中数学一道映射题目

题目：映射f:{1,2,3}→{1,2,3},满足f(f(x))＝f(x),求这样的映射函数共有几个？
A.1个 B.4个 C.8个 D.10个

ORZ跪求详解，练习上有答案，但是看不懂。所以希望能够有详细了解答过程。3Q~
答案上是D

Answer 1

先考察1,如果1->1,显然f(f(1))=f(1)。如果1->2,f(f(1))=f(2)=f(1)，此时必须有2->2。同样，1->3,则3->3。
当1->1时，当2->1时，有3->3和3->1
当1->1时，当2->2时，有3->3和3->2和3->1
当1->1时，当2->3时，有3->3
当1->2并且2->2时，有3->3和3->2
当1->3并且3->3时，有2->2和2->3
你可以数数 有10组哦。不懂再问我

追问

如果1->2,f(f(1))=f(2)=f(1)，此时必须有2->2为什么？

追答

呵呵，1->2，那么f(1)=2对吧？要满足f(f(1))=f(1)，而f(1)=2，那么把f(f(1))括号里面的f(1)替换了就是f(2)=f(1)哦。懂了吧，小妹妹？

追问

恩恩~3Q

追答

快高考了吧？有什么问题都可以问我哦，我是zju的，呵呵

Answer 2

满足f(f(x))＝f(x)，即同时满足f(f(1))＝f(1)，f(f(2))＝f(2)，f(f(3))＝f(3)
列举出来：
f(1)=1，f(2)＝1，f(3)＝1
f(1)=1，f(2)＝1，f(3)＝3
f(1)=1，f(2)＝2，f(3)＝1
f(1)=1，f(2)＝2，f(3)＝2
f(1)=1，f(2)＝2，f(3)＝3
f(1)=1，f(2)＝3，f(3)＝3
f(1)=2，f(2)＝2，f(3)＝2
f(1)=2，f(2)＝2，f(3)＝3
f(1)=3，f(2)＝2，f(3)＝3
f(1)=3，f(2)＝3，f(3)＝3
共10个映射。

Answer 3

满足f(f(x))＝f(x),
则四种情况：
第一种：f(x)=x ,f(f(x))＝f(x)=x,
这里只有一种：f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3
第二种；f(x)=a 属于{1,2,3} ,f(f(x))＝f(a)=a
这里有三种：f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3 （三种）
第三种：（1）（2）两种结合 （六种）
f(1)=f(2)=1或2， f(3)=3
f(2)=2,f(1)= f(3)=1或3
f(1)=1,f(2)= f(3)=2或3

Answer 4

选择题，那你可以从特殊的数据来分析的。
如1对应1，则肯定满足的；若1对应2，则f(1)=2，那另外的要求“f[f(x)]=f(x)”就意味着f[f(1)]=f(1)=2，则无法达成。另外，由于这两个集合是相等的，f[f(x)]=f(x)其实就是f(M)=M，则这样的映射只有一种，即1对应1、2对应2、3对应3。

追问

答案上有10种。