Question

大一高等数学多元函数求极值部分的一个题 第七题

Answer 1

Answer 2

设椭球面的切点坐标为(e,f,g)，其中e,f,g>0
则椭球面的切平面方程为：ex/a^2+fy/b^2+gz/c^2=1
切平面与坐标轴的交点坐标分别为：(0,0,c^2/g)，(0,b^2/f,0)，(a^2/e,0,0)
所以四面体体积V=(1/6)*(a^2/e)*(b^2/f)*(c^2/g)
=(abc)^2/6efg
=(abc)/[6(e/a)(f/b)(g/c)]
根据均值不等式
>=(abc)/{6*[(e^2/a^2+f^2/b^2+g^2/c^2)/3]^(3/2)}
=(√3/2)*(abc)
当且仅当e/a=f/b=g/c时，等号成立
所以最小体积为(√3/2)*(abc)，切点为(√3/3*a,√3/3*b,√3/3*c)