Question

高三数学题，有关导数和不等式的，很有难度的

已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3。
(1)求实数a的值；
(2)若k属于Z，且k<f(x)/(x-1)对任意x>1恒成立，求k的最大值；
(3)当n>m≥4时，证明(mn^n)^m>(nm^m)^n。
第三问是[m乘以(n的n次方)]的m次方>[n乘以(m的m次方)]的n次方
个人感觉第三问要用到第二问的结果
f(x)=x+xlnx,f'(x)=2+lnx
[f(x)/(x-1)]'=[f'(x)(x-1)-(x-1)'f(x)]/(x-1)^2=[(2+lnx)(x-1)-x(lnx+1)]/(x-1)^2=(x-lnx-2)/(x-1)^2

(mn^n)^m>(nm^m)^n
<=m^mn^mn>n^nm^mn
<=n^(mn-n)>m^(mn-m)
<=n^n(m-1)>m^m(n-1)
<=n^[n/(n-1)]>m^[m/(m-1)]
<=n/(n-1)lnn>m/(m-1)lnm
<=nlnn/(n-1)>mlnm/(m-1)

Answer 1

这个题目老师前2天刚讲过
便宜你了
我直接奉上标准解答！

解析：
(1)
f'=a+lnx+1
a+2=3
a=1

(2)f(x)=x(1nx+1)
构造一个函数g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
则g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²
令h(x)=x-1nx-2(x>1),则h'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴h(x)在（1，+∞）上单调递增
又h(3)=1-1n3<0,h(4)=2-1n4=2(1-ln2)>0
∴h(x)在区间（3,4）上有一个零点，记为x₀,则x₀=1nx₀+2
当1<x<x₀时，g'(x)<0；当x>x₀时，g'(x)>0
∴g(x)在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞)上单调递增
∴g(x)有最小值g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
∴k<x₀时，k<f(x)/(x-1)对任意x>1恒成立
又k∈Z,∴k的最大值为3

（3）即要证明：当n>m>1时，n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
令g(x)=x-1nx-1(x>1),则g'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增
又g(1)=0,∴g(x)>0 ∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增
∴当n>m>1时，n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)

追问

(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²不对吧？

追答

是不是你记错公式了？

(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2
先求分母的导数吧

追问

可能是我记错了，你到百度百科词条去找一下“导数”
有(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

还有，
二：g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀ why？？
三：（3）即要证明：当n>m>1时，n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
why??
四：构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
why？？

追答

（一） 先说明下 求导的结果肯定没问题
g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²

追问

没问题了，你把你的答案复制到http://zhidao.baidu.com/question/263773148.html，跟这个题是同一个题，有30分，不要便宜别人了。

Answer 2

只会第一问，f(x)求导