Question

两次分部积分解决问题。

Answer 1

原式=(-1/2)∫(x+2)³d(1/x²)
=(-1/2)[(x+2)³/x²]+(1/2)∫(1/x²)d(x+2)³【第一次分部积分】
=(-1/2)[(x+2)³/x²]+(3/2)∫(x+2)²/x²dx
=(-1/2)[(x+2)³/x²]-(3/2)∫(x+2)²d(1/x)
=(-1/2)[(x+2)³/x²]-(3/2)[(x+2)²/x]+(3/2)∫(1/x)d(x+2)²【第二次分部积分】
=(-1/2)[(x+2)³/x²]-(3/2)[(x+2)²/x]+3∫[(x+2)/x]dx
=(-1/2)[(x+2)³/x²]-(3/2)[(x+2)²/x]+3x+6lnx+C

Answer 2

不需要分部积分。∫[(x+2)/x]^3dx=∫(1+2/x)^3dx=∫(1+6/x+12/x^2+8/x^3)dx=x+6lnx-12/x-4/x^2+C