Question

抛物线问题

抛物线y^2=2px(0<p<1),与圆C1:(x-5)^2+y^2=9及圆C2:(x-6)^2+y^2=27在X轴上方分别交于A,B及C,D,P是AB的中点,Q为CD中点
（1）求|PQ|
（2）求三角形ABQ面积的最大值

Answer 1

1）设 A(xA,yA),B(xB,xB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)
由(x-5)^2+y^2=9 和 y^2=2px
得:x^2-2（5-p)x+16=0
所以
x1=(xA+yB)/2=5-P
y1=(yA+yB)/2=根号（2p)/2*(根号xA+根号xB)
=根号（2p)/2*根号(xA+xB+根号（xAxB)）
=根号（2p)/2*根号(9p-p^2）

由（x-6)^2+y^2=27 和 y^2=2px
得:x^2-2（6-p)x+9=0
所以:
x2=(xC+xD)/2=6-p

y2=(yC+yD)/2=根号（2p)/2*(根号xC+根号xD)
同y1类似，y2=根号(9p-p^2）

则 ，
|x1-x2|=1
|y1-y2|=0
所以|PQ|=1

（2）S△ABQ=S△APQ+S△PBQ
=PQ/2*|yA-yB|
=根号（2p)/2*|根号xA-根号xB|
=根号(p(1-p))

因为0<p<1，
所以当p=1/2时，
S△ABQ取最大值1/2

Answer 2

我感觉第一人的答案有点小错，且不够详细在他基础上修改，有不懂的请尽管问
1）设 A(xA,yA),B(xB,xB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)
由(x-5)^2+y^2=9 和 y^2=2px
得:x^2-2（5-p)x+16=0
所以
x1=(xA+yB)/2=5-P
y1=(yA+yB)/2=根号（2p)/2*(根号xA+根号xB)
=根号（2p)/2*根号(xA+xB+2根号（xAxB)）
=根号(9p-p^2）

由（x-6)^2+y^2=27 和 y^2=2px
得:x^2-2（6-p)x+9=0
所以:
x2=(xC+xD)/2=6-p

y2=(yC+yD)/2=根号（2p)/2*(根号xC+根号xD)
同y1类似，y2=根号(9p-p^2）

则 ，
|x1-x2|=1
|y1-y2|=0
所以|PQ|=1

（2）因为P是AB的中点，所以S△APQ＝S△PBQ
所以：S△ABQ=S△APQ+S△PBQ
＝2S△PBQ
由第一问中y1=y2得PQ平行与x轴
得：PQ边上的高h垂直PQ（x轴）
　　　所以h平行于y轴
又因为p点是AB的中点
　　　所以h＝|yB-y1|=|yB-yA| / 2
S△ABQ|＝2S△PBQ
＝PQ*h
=h
=|yB-yA| / 2
=根号（2p)/2*|根号xA-根号xB|
=根号（2p)/2*根号(xA+xB-2根号（xAxB)）
因为（1）中由(x-5)^2+y^2=9 和 y^2=2px
得:x^2-2（5-p)x+16=0
所以
S△ABQ=根号（2p)/2*根号(xA+xB-2根号（xAxB)）
=根号（2p)/2*根号(10-2p-8)
=根号（2p)/2*根号(2-2p)
=根号(p(1-p))
因为0<p<1，
所以当p=1/2时，
S△ABQ取最大值1/2

Answer 3

圆心为（2,0）
然后找y^2=12+4X到圆心最近的距离
y^2+((y^2-12)/4-2)^2的最小值
对上式求导
2y+0.25y^3-10y=0
解得：y=0，y=±32^0.5
y=0不符合题意
当y=±32^0.5时x=5
所求圆的方程为：（x-2）^2+y^2=9+32