不定积分 ∫1/(1+e^x)dx有多少种解法?
2011-05-13
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1、第一类换元法
∫1/(1+e^x)dx=∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx=-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))=-ln(1+e^(-x))+C=-ln((1+e^x)/e^x)+C=x-ln(1+e^x)+C
或
∫1/(1+e^x)dx=∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx=x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)=x-ln(1+e^x)+C
2、第二类换元法
令t=e^x,则x=lnt,dx=dt/t
∫1/(1+e^x)dx=∫1/(t(1+t))dt=∫ (1/t-1/(t+1))dt=ln|t| - ln|1+t|+C=x-ln(1+e^x)+C
或者把1+e^x换作t也可以
∫1/(1+e^x)dx=∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx=-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))=-ln(1+e^(-x))+C=-ln((1+e^x)/e^x)+C=x-ln(1+e^x)+C
或
∫1/(1+e^x)dx=∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx=x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)=x-ln(1+e^x)+C
2、第二类换元法
令t=e^x,则x=lnt,dx=dt/t
∫1/(1+e^x)dx=∫1/(t(1+t))dt=∫ (1/t-1/(t+1))dt=ln|t| - ln|1+t|+C=x-ln(1+e^x)+C
或者把1+e^x换作t也可以
追问
还有其他的解法吧,我记得原来老师给我讲的有九种。你还知道其他的解法吗?
追答
无外乎就是换元法或者分部法,这里分部法貌似用起来有困难,换元法就是这两类,暂时只想到了上面四种。其它的解法会比这些还简单?
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