Question

双十字相乘法的简单方法

Answer 1

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x^2-（5+7y)x-（22y^2-35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
-22y^2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
=(x+2y-3）（2x-11y+1）．
（x+2y）（2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y^2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”
用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
⑴用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图（有两列）；
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。 我们把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x），g(x），…等记号表示，如：
f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x^5+x^2+6，…，
当x=a时，多项式f(x）的值用f(a）表示．如对上面的多项式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0；
f(-2）=(-2）^2-3×（-2）+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x）的一个根．
定理1（因式定理） 若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x）有一个因式x-a。
根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。

Answer 2

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

• 在各种文明的算术发展过程中，乘法运算的产生是很重要的一步。一个文明可以比较顺利地发展出计数方法和加减法运算，但要想创造一套简单可行的乘法运算方法却不那么容易。

• 我们目前使用的乘法竖式计算看似简便，实际上这需要我们事先掌握九九乘法口诀表；考虑到这一点，这种竖式计算并不是完美的。

• 我们即将看到，在数学的发展过程中，不同的文明创造出了哪些不同的乘法运算方法，其中有的运算法甚至可以完全抛弃乘法表。

• 古巴比伦数学使用60进制，考古发现的一块古巴比伦泥板证实了这一点。这块泥板上有一个正方形，对角线上有四个数字1, 24, 51, 10。

• 最初发现这块泥板时人们并不知道这是什么意思，后来某牛人惊讶地发现，如果把这些数字当作60进制的三位小数的话，得到的正好是单位正方形对角线长度的近似值：1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.41421296296... 这说明古巴比伦已经掌握了勾股定理。60进制的使用为古巴比伦数学的乘法运算发展带来了很大的障碍，因为如果你要背59-59乘法口诀表的话，至少也得背1000多项，等你把它背完了后我期末论文估计都已经全写完了。

• 另一项考古发现告诉了我们古巴比伦数学的乘法 运算如何避免使用乘法表。考古学家们发现一些泥板上刻有60以内的平方表，利用公式ab = [(a+b)^2 - a^2 - b^2]/2 可以迅速查表得到ab的值。

• 另一个公式则是ab = [(a+b)^2 - (a-b)^2]/4，这说明两个数相乘只需取它们的和平方与差平方的差，再两次取半即可。平方数的频繁使用很可能加速了古巴比伦人发现勾股定理的过程。