Question

如图,已知:△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,cosB=根号3/2,角D=30°。(1)求证:AD

如图,已知:△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,cosB=根号3/2,角D=30°。(1)求证:AD是圆O的切线；（2）若AC=6，求AD的长。
cosB=二分之√3

Answer 1

证明：
(1) 如图，连接OA，
因为sinB=1/2
B=30
∠O=60
因为OA=OC
所以△ACO为等边三角形
所以∠OAC=60
因为∠CAD=30
所以∠OAD=90
所以AD是圆O的切线

（2）
因为OD⊥AB
所以OC垂直平分AB
则AC=BC=6
所以OA=6
在△AOD中，∠OAD=90
由正切的定义知，
tan∠AOD=AD/OA
所以AD=6根号3

Answer 2

追问∠AOC为什么等于60度？ 还有C为什么是OD的中点？
因为cosB=二分之√3
所以角B=30度
因为相同弧所对角相同，所以DO延长线交圆于点E的角CEA等于角B等于30度
因为OE=OA
所以角OEA=角OAE=30度
所以角AOC=60度

因为角COA等于60度
所以三角形COA为等边三角形
则OC=AC
角CAD=角OAD-角OAC=90-60=30=角D
所以CO=CA=OC
所以C是OD的中点

Answer 3

1
B=30度
连结OA
易得角AOC=60度，而角D=30度
所以角OAD=90度
故AD是圆O的切线
2
易得三角形OCA为等边三角形，AC=6
则半径OA=6
所以OD=12
AD=6根号3

追问

∠AOC为什么等于60度？ 还有C为什么是OD的中点？

Answer 4

1)连接OA，∵∠B=30°,根据圆心角是圆锥角的2倍得：∠AOD=2∠B=60°,又∠D=30°,∴∠OAD=90°
2)由上可得三角形AOC为等边三角形，∴AC=OA=6，在直角三角形AOD中，AD=tan60°×OA=6√3

Answer 5

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