Question

已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且limx->0f(x)/1-cosx=2,则在x=0处

已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且limx->0f(x)/1-cosx=2,则在x=0处f(x)可导还是不可导？ps:x=0极小值我知道用保号性。个人感觉从充分条件上看无法确定可导，但是取f(x)=x^2却满足题设条件，求老师指点f(x)到底可导还是不可导

Answer 1

证明：由(x→0)limg(x)/x=-1 （极限为-1,分母趋于0,则分子必趋于0）
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0
于是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1
则g(x)在该邻域内可导且g'(0)=-1
(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因为(x→0)limg²(x)=0
则(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
对(x→0)limf(x)/g²(x)=2进行变形
(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) （变成两个极限之积,并对右边的极限用洛必达法则）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)
=2
因此f(x)=2x²+o(x)
于是可以得到(x→0)limf(x)/x=0
即f'(0)=0

追问

你看题了吗？请问？

谁告诉你极限是-1的？

答非所问。差评

机器人？

Answer 2

不一定，只能保证右极限存在，左极限不能保证。

追问

右极限怎么存在的？

追答

我好像想错了，应该是可导的，而且是0.......

追问

理由呢，麻烦说下

追答

不太会证明，但我觉得应该没错。

追问

刚想通了，f(x)是x^2的等价无穷小，所以f(x)=x^2+o(x^2)两个都可导，所以f(x)可导，谢谢同学了👍

追答

f(x)=x^2*sin1/x 也是x^2的等价无穷小（定义x=0 y=0）但是在0出不可导，你要看导数在0那一点有没有定义啊。

追问

你这个定义是不对的同学，sin1/x首先x就不能等于零的，所以你这个特例不满足条件的，条件是f0=0，但你这个举例x取不到0啊

题目里x可以取到0的，我说的对吧？

你的意思是分段？

还有呀，导数的定义是x趋向于0点，左极限等于右极限，所以这个函数是可导的哈

追答

对啊，定义x=0时候，y=0啊，这是个连续未必可导很典型的例子。

追问

同济第五版2-1习题16题就是求证这个函数哈，我做过是可导的

同学。。。这个函数是可导的，连续未必可导例子是…绝对值x这个函数

这是解题步骤

在某点可导是在这个点附近邻域内左极限等于右极限哈，总之谢谢你啦同学，我那样理解应该是对的👍

追答

.......抱歉，我想错了。

追问

没事，大家共同进步👍

Answer 3

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问