Question

已知函数f(x)的定义域是(0,+无穷大),当x>1时,f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y)

1.求f(1)
2.证明f（x）在定义域上是增函数
3.如果f（1/3）=-1，求满足不等式f（x）-f（1/（x-2））≥2的取值范围

Answer 1

1.令x=y=1,则f(1)=2f(1)，所以f(1)=0
2.f(1)=f(x)+f(1/x)=0,所以f(1/x)=-f(x),令x1>x2>1,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2),因为x1/x2>1,所以f(x1/x2)>0,f(x1)-f(x2)>0,所以递增。
3.因为f（1/3）=-1，所以f（1/9）=-2。f（x）-f（1/（x-2））≥2可整理为f（1/9*x（x-2））≥f（1）.
因为递增，所以1/9*x（x-2）≥1，另外考虑定义域x>0,1/(x-2)>0,综合三式可得出答案。