Question

已知如图,直线y=-根号3x+4根号3与x轴相较于点A,与直线y=根号3x相较于点P

1、求点P的坐标
2、请判断三角形OPA的形状并说明理由。
3、动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度延着O_P_A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF垂直于X轴于F，EB垂直于Y轴于B。设运动T秒时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分的面积为S，①求:S与T之间的函数关系式。②当t为何值时，S最大，最大为多少
...

Answer 1

第一问
解方程组
y=-根号3x+4根号3
y=根号3x

得P的坐标为(2,2根号3)

第二问
直线y=根号3x的斜率为根号3，倾斜角为60°，∠POA=60°
直线y=-根号3x+4根号3的斜率为-根号3，倾斜角为120°，∠PAO=60°
所以三角形OPA的形状是正三角形，OP=OA=AP=4

第三问
三角形OPA的形状是正三角形，OP=OA=AP=4
T<4时E在OP上
T=4时E在P上
4<T<8时E在PA上

动点E延着O_P_A的路线向点A匀速运动时，在x轴方向上的运动速度保持不变，都是1*cos60°=1/2,E的横坐标为T/2

T<=4时E在OP上,
S=OF*EF/2=T*cos∠POA*T*sin∠POA/2=(根号3)T*T/8

4<T<8时E在PA上,设BE交OP于G
S=S四边形OBEF-S三角形OGB
=x*y-y*(y/根号3)/2
=x*(-根号3x+4根号3)-(根号3)(-根号3x+4根号3)^2/6=(根号3)[x*(-x+4)-(-x+4)^2/2]=(根号3)[-3x^2/2+8x-8]
=-3(根号3)x^2/2+8(根号3)x-8(根号3)
=-3(根号3)T^2/8+4(根号3)T-8(根号3)
=(根号3)(-3T^2/8+4T-8)

当T=-b/(2a)=16/3时,S取得最大值8(根号3)/3

Answer 2

第一问
解方程组
y=-根号3x+4根号3
y=根号3x

得P的坐标为(2,2根号3)

第二问
直线y=根号3x的斜率为根号3，倾斜角为60°，∠POA=60°
直线y=-根号3x+4根号3的斜率为-根号3，倾斜角为120°，∠PAO=60°
所以三角形OPA的形状是正三角形，OP=OA=AP=4

第三问
三角形OPA的形状是正三角形，OP=OA=AP=4
T<4时E在OP上
T=4时E在P上
4<T<8时E在PA上

动点E延着O_P_A的路线向点A匀速运动时，在x轴方向上的运动速度保持不变，都是1*cos60°=1/2,E的横坐标为T/2

T<=4时E在OP上,
S=OF*EF/2=T*cos∠POA*T*sin∠POA/2=(根号3)T*T/8

4<T<8时E在PA上,设BE交OP于G
S=S四边形OBEF-S三角形OGB
=x*y-y*(y/根号3)/2
=x*(-根号3x+4根号3)-(根号3)(-根号3x+4根号3)^2/6=(根号3)[x*(-x+4)-(-x+4)^2/2]=(根号3)[-3x^2/2+8x-8]
=-3(根号3)x^2/2+8(根号3)x-8(根号3)
=-3(根号3)T^2/8+4(根号3)T-8(根号3)
=(根号3)(-3T^2/8+4T-8)

当T=-b/(2a)=16/3时,S取得最大值8(根号3)/3