Question

一道立体几何题，无论是用坐标法还是空间向量法，做出来都重赏

Answer 1

（1）取BC的中点D，连接AD，C1D
⊿ABC是等边三角形，AD⊥BC，AD=√3/2a
侧面BCC1B1⊥底面ABC，BC为交线，则AD⊥底面ABC
AA1∥BB1，AA1∥侧面BCC1B1，则要求异面直线AA1与C1B1的距离，
可以转换为求AA1到与之平行的平面BCC1B1的距离，即AD=√3/2a
（2）由已知AC1⊥BC，AD⊥底面ABC，三垂线定理，得C1D⊥BC
侧面BCC1B1⊥底面ABC，BC为交线，所以C1D⊥底面ABC,C1D=√3/2a
以D为坐标原点，DB为X轴正向，AD延长线为Y轴，DC1为Z轴建立空间直角坐标系
则A(0,-√3/2*a,0),B(a/2,0,0),B1(a,0,√3/2*a),C1(0,0,√3/2*a)
向量AB=（a/2,√3/2*a,0）向量BB1=(a/2,0,√3/2*a)
底面ABC的法向量n1(0,0,√3/2a)，即为向量DC1
设侧面ABB1A1的法向量n2(x,y,z),则向量AB*n2=0,向量BB1*n2=0
即(a/2)x+√3/2*ay=0,(a/2)x+√3/2*az=0,则y=z
令x=√3,则y=z=-1,即向量n2=(√3,-1,-1)
由已知可以判断所求二面角为钝角
所以cos<二面角>=-|cos<n1*n2>|=-|n1*n2|/|n1||n2|=-√5/5
所求二面角的大小为arccos(-√5/5)

Answer 2

1）因为BCC1B1垂直ABC，所以B1C1垂直AC
又AC1垂直BC，B1C1//BC,所以AC1垂直B1C1
所以B1C1垂直AA1C1C中两条交叉直线，所以B1C1垂直AA1C1C
BB1C1C 垂直ABC，所以C1C垂直AC,而C1C//A1A，A1C1//AC，所以A1C1垂直AA1
所以A1C1是AA1和B1C1的距离，答案为 a

但是这样ACB是等腰直角三角形，它的边长不可能都是a

Answer 3

(1)二分之根号三a (2)90°