Question

求不定积分∫1/√x(4-x)dx

x(4-x)都在根号内

Answer 1

x(4-x)都在根号内？配方：x(4-x)＝2^2-(x-2)^2，套用不定积分公式∫dx/√(a^2-x^2)，a取2，x换作x-2

追问

能不能将√X提出来变成√x√(4-x)

追答

接下去怎么做呢？换元？怎么换？我们的目的应该是想着消去根号吧？怎样把两个根号同时消去？

Answer 2

解：∫1/√x(4-x)dx =∫2/(4-x)d√x
取√x=t，则原式
=∫2/(4-t^2)dt
=1/2∫[1/(2-t)+1/(2+t)]dt
=1/2[ln(2+t)-ln(2-t)]+C
=1/2ln(2+t)/(2-t)+C
=1/2ln(2+√x)/(2-√x)+C
C为积分常数。

Answer 3

令X=4(sint)的平方 dx=4sin2tdt 原式=积分号(1/(2sint*2cost))*4sin2tdt=积分号2dt=2t+C=2arcsin根号下x/2

Answer 4

∫1/√[x(4-x)]dx=∫1/√[1-(x-2)²/4]d((x-2)/2)=(令t=(x-2)/2)∫1/√(1-t²)dt=arcsint=arcsin[(x-2)/2]

Answer 5

∫1/√x(4-x)dx
=∫1/√(4-4+4x-x^2)dx
=∫1/√[4-(x-2)^2]dx
=arcsin[(x-2)/2]+c