已知f（x）的定义域为R，且f（x+1）和f（x-1）都是奇函数，求证f（x+3）也是奇函数
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令 g(x)=f(x+1)，h(x)=f(x-1)，则因为 g，h 都是奇函数，有 g(-x) = - g(x) ，h(-x) = - h(x)。
考虑函数 m(x) = f(x+3) = f((x+2)+1) = g(x+2) = - g(-x-2) = - f((-x-2) +1) = -f(-x-1)
而 m(-x) = f(-x+3) = f((-x+2)+1) = g(-x+2) = - g(x-2) = - f((x-2) +1) = - f(x-1) = - h(x) = h(-x)
= f(-x -1)
所以 m(-x) = - m(-x) = f(-x -1)。
即 m(x) = f(x+3) 也是奇函数。
考虑函数 m(x) = f(x+3) = f((x+2)+1) = g(x+2) = - g(-x-2) = - f((-x-2) +1) = -f(-x-1)
而 m(-x) = f(-x+3) = f((-x+2)+1) = g(-x+2) = - g(x-2) = - f((x-2) +1) = - f(x-1) = - h(x) = h(-x)
= f(-x -1)
所以 m(-x) = - m(-x) = f(-x -1)。
即 m(x) = f(x+3) 也是奇函数。
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