Question

什么事导数零点定理，以及证明

Answer 1

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
　　证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
　　E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
　　由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
　　存在ξ=supE∈[a,b].
　　下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，
　　(i)若f(ξ)>0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
　　存在x1∈(ξ,b):f(x1)<0→存在x1∈E:x1>supE,
　　这与supE为E的上界矛盾；
　　(ii)若f(ξ)<0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
　　存在δ>0,对任意x∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在δ>0,对任意x∈E:x<ξ-δ,
　　这又与supE为E的最小上界矛盾。
　　综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。
　　我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

Answer 2

楼上所述的是函数的零点定理，而不是导函数的。零点定理其实是介值定理的一种特殊形式，导函数零点定理也可以对导函数的介值定理（即达布定理）进行修改得到。具体的我就不说了，你可以参考高等教育出版社出版的，华师大编写的《数学分析》上册，P93

Answer 3

看高数课本，最简单的，她的后面还有拉格朗日定理等共3个