Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0）中的a,b,c均为奇数。 求证：方程f(x)=0无整数根。

Answer 1

先假设根为偶数，则[-B+或者-根号（b平方-4ac)]/2a为偶数，因为a\b\c都为奇数，则b平方为奇数，4ac也为奇数，所以根号里面最终结果为偶数或者是小数，。再分类讨论：根号里面是偶数，则分子为奇数（奇数加或减都是奇数），而且不等于2a，再除以2a，最终为小数（奇数除奇数为小数），与假设相反；根号里面是小数，则分之为小数，所以最终为小数，与假设相反。所以假设不成立，所以没有整数根。

Answer 2

这个结论是错的。
比如f(x)=x^2+9x+c有两个不相等实根，此时a=1,b=9,c=1

追问

是无整数根啊啊啊、您在答什么T T、

Answer 3

证明：当f(x)=0时 x=-b+-根号b2-4ac/2a
因为abc 均为奇数 所以b2为奇数，b2/2a不可能为整数，所以原方程无整数根
这是第一种情况
第二种，先假设有整数根时，abc都可为奇数
再用因式分解
ax2 +bx+c=a(x-q/a)(x-p/a)
则q/a+p/a为奇数=b，qp/a2为奇数=c
若p，q能被a整除，则可设p=am q=an 且mn 为奇数 则(p+q)/a=a(m+n)必为偶数，与命题相矛盾，所以原方程无整数根