Question

200分 设二次函数f（x）=ax平方+bx+c（a不等于0）中的a，b，c均为奇数，求证方程f（x）=0无整数根。

Answer 1

反证法；
假设方程f（x）=0的根为整数。（设整数根为m）
考虑am²+bm+c的奇偶性即可
（1）若m是奇数，则m²是奇数，am²仍为奇数，bm是奇数，c是奇数
所以 am²+bm+c是奇数，0是偶数
两者不能相等。
（2）若m是偶数，则m²是偶数，am²仍为偶数，bm是偶数，c是奇数
所以 am²+bm+c是奇数，0是偶数
两者不能相等。
所以，假设不成立
所以 方程没有整数根。

Answer 2

可以用反证法，即有整数根， 注意这里已经假设有根，设为X1，故可写成Y= a(x-x1)(x-x2),可能相等，再展开，Y= ax*x-ax(x1+x2)+ax1*x2,由于 a 为奇数，又 b为奇数，故 (x1+x2)为整数，故X2为整数，且(x1+x2)为奇数，即必为一奇一偶，但X1*X2为奇数，即X1，X2同为奇数，这就相矛盾，故假设错误。无整数根

Answer 3

如果x是奇数，则f(x)=3个奇数和＝奇数　！＝0
如果x是偶数，则f(x)=2个偶数+奇数＝奇数　！＝0
所以无整数解