Question

已知函数f(x)=2(sin^4 x+cos^4 x)+m(sin^x+cosx)^4在0=<x =<pi/2 有最大值5,求m，急求！！！

已知函数f(x）=2(sin^4 x+cos^4 x)+m(sin^x+cosx)^4在0＝＜x ＝＜pi/2 有最大值5，求m

Answer 1

cosx=sinx是取得最大值，m=1

追问

能给我详细过程吗？

追答

f(x)=2(sin^4 x+cos^4 x)+m(sinx+cosx)^4=2(sin^2x+cos^2x)^2-4sin^2xcos^2x+m(sinx+cosx)^4
=2--4sin^2xcos^2x+m(1+2sinxcosx)^2=2--4sin^2xcos^2x+m(4sin^2xcos^2x+4sinxcosx+1).
令sinxcosx=a，0=<x =<pi/2,0=<a<=1/2.
则f(x)=2-4a^2+m(4a^2+4a+1),把f(x)看成关于m的一元函数，在0=<a<=1/2内递增，所以a=1/2时取得最大值，f(x)=2-4*1/4+m（4*1/4+4*1/2+1)=1+4m=5,所以m=1.
同志，浪费了我不少时间加点奖励吧

Answer 2

求二阶导数就行了.图我也画出来了.

Answer 3

f(x）=2(sin^4 x+cos^4 x)+m(sin^x+cosx)^4
设s=sinx,c=cosx
f(x)=2(s^4+c^4)+m(s+c)^4
=2[(s^2+c^2)^2-2s^2c^2]+m(1+4sc+4s^2c^2)
设t=sc=sin2x/2∈[0,1/2]
f(x)=2[1-2t^2]+m(1+4t+4t^2)
=2-4t^2+m+4mt+4mt^2
接下来就是求导，讨论最值了
m=1

Answer 4

f(x）=2(sin^4 x+cos^4 x)+m(sin^x+cosx)^4
f'(x)=8(sin^3 x cosx-cos^3 x sinx)+4m(sinx+cosx)^3(-sinx+cosx)
=8(sin^2x-cos^2x)sinx cosx-4m(sinx+cosx)^2(sin^2x-cos^2x)
=-4cos2x (sin2x-m(1-sin2x))
cos2x=0
x=pi/4 sinx=cosx
f(x)max=2(1/4+1/4)+4m=5
m=1