Question

已知函数f(x)=2(sin^4x+cos^4x)+m(sinx+cosx)^4在x属于【0,兀/2】有最大值5，求实数m的值

Answer 1

令a=sinx, b=cosx, 有 a^2+b^2=1，因为ab=0.5sin2x, 所以0=<ab<=0.5
f(x)=2(a^4+b^4)+m(a+b)^4
=2[(a^2+b^2)^2-2a^2b^2]+m[a^2+b^2+2ab]^2
=2-4(ab)^2+m(1+2ab)^2
=2-4(ab)^2+m[1+4ab+4(ab)^2]
=4(m-1)(ab)^2+4mab+2+m
当m=1时, f(x)=4ab+3=2sin2x+3， x=π/4时取到最大值5. 符合。
当m<>1时，f(x)=4(m-1)[ ab+m/2(m-1)]^2+1-1/(m-1)，由蚂码氏抛物线性质，知：
当m>1, fmax=f(0.5)=4(m-1)/4+4m/2+2+m=4m+1=5---> m=1, 不符闷散。
当m<1, 若0=<m/模察2(1-m)<=0.5---> 0=<m<=1/2
fmax=f[m/2(1-m)]=1-1/(m-1)=5--> m=3/4, 不符。
若1/2<m<1, fmax=f(0.5)=4m+1, 不符
若m<0, fmax=f(0)=2+m=5-->m=3, 不符。
综合上面，得只有一个解：m=1