Question

设a+b+c=1,a²+b²+c²=1,且a>b>c 求证（-1/3）<c<0

Answer 1

证明：则已知可得a+c=1-c，所以(a+b)²=(1-c)²， 即a² + 2ab +b²=(1-c)²， （1）
又a²+b²+c²=1，即a²+b²=1-c² (2)
由(1)、（2）两式，联立可得ab=[(1-c)²-(a²+b²)]/2=[(1-c)²-(1-c²)]/2=c²-c
即 a+b=c²-c （3）
又a+b=1-c （4）
若把a、b看作是关于一个x的一元二次方程的两不等实根，即由（3）、（4）可得
f(x)=(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab=x²-(1-c)x+(c²-c)=0
即a、b是关于x的一元二次方程：x²-(1-c)x+(c²-c)=0的两不等实根，
则有：⊿=[-(1-c)]²-4(c²-c)>0；有两不等实根，
x=(1-c)/2>c 对称轴位于两根之间，x=(1-c)/2>b>c
f(c)>0； 因为f(x)在，x∈(-∞, (1-c)/2)上单调递减，c<b，f(c)>f(b)=0
由已上三式联立求解，则可得证：（-1/3）<c<0

望能帮助读者释疑！
请加分吧：）