Question

线性代数题目 已知矩阵A，B=A^2+2A+E.求可逆矩阵P使得P^-1

线性代数题目 已知矩阵A，B=A^2+2A+E.求可逆矩阵P使得P^-1线性代数题目 已知矩阵A，B=A^2+2A+E.求可逆矩阵P使得P^-1BP为对角矩阵，已知a1，a2，a3是属于A的三个特征值的特征向量。为什么P=(a1,a2,a3)?

Answer 1

矩阵变换，特征值不变。而对角矩阵的特征值，就是对角线上的元素。
λ-a1,0,0
0,λ-a2,0
0,0,λ-a3
=(λ-a1)(λ-a2)(λ-a3)=0
λ1=a1,λ1=a2,λ1=a3

追答

后面应该是λ2, λ3
行列式变换，一行(列)乘以一个数，加到另一行(列)，不改变其值。而化成对角行列式后，行列式的值就是主对角线元素的积。矩阵的变换与行列式变换一样，因此，不改变特征值。

追问

a1，a2，a3是特征向量不是特征值

追答

特征向量，是从特征值来的。

追问

但是特征值相同不一定特征向量相同😂

追答

相关

设向量a1,a2,a3分别是特征值λ1, λ 2, λ3对应特征向量，Aa1= λ1a1, Aa2= λ2a2 , Aa3= λ3a3 ,
写成向量式
A（a1,a2,a3）=（ λ1a1， λ2a2， λ3a3 ）
AP=（ λ1a1， λ2a2， λ3a3 ）
两边求矩阵对应行列式
|A||P|= λ1 λ2 λ3|P|
|A|= λ1 λ2 λ3=|
λ1 ，0,0
0,λ2,0
0,0, λ3
|

追问

这我知道 就是不明白为什么B和A的特征值相同

追答

没有说他们特征值相同，而是说，B被化成了对角矩阵。
AP=（ λ1a1， λ2a2， λ3a3 ）=(a1,a2,a3)Λ=PΛ
其中Λ是λ1， λ2， λ3组成的对角矩阵。
P^(-1)AP=P^(-1)PΛ=Λ
B=A²+2A+E=A²+A+A+E=A（A+E）+（A+E）=（A+E）（A+E）=（A+E）²
P^(-1)BP=P^(-1)（A+E）²P
=P^(-1)（A+E）（A+E）P
=（P^(-1)A+P^(-1)）（AP+P）
=（P^(-1)A+P^(-1)）AP+（P^(-1)A+P^(-1)）P
=P^(-1)AAP+P^(-1)AP+P^(-1)AP+P^(-1)P
=P^(-1)AAP+2Λ+E
AP=PΛ代入
P^(-1)BP=P^(-1)APΛ+2Λ+E
=Λ²+2Λ+E
对角阵之和还是对角阵。现在要证明Λ²是对角阵：
Λ²=
λ1 ,0,0
0,λ2,0
0,0, λ3
×
λ1 ,0,0
0,λ2,0
0,0, λ3
=
λ1²,0,0
0,λ2²,0
0,0, λ3²
确实是对角阵。
如此：
P^(-1)BP=Λ²+2Λ+E
=

λ1²+2λ1+1,0,0
0,λ2²+2λ2+1,0
0,0, λ3²+2λ3+1
是对角矩阵！

追问

哦，谢谢。那为什么P里有A的特征向量?

追答

P就是A的特征向量组成的。题目里面说的。已知……。
设a1=（a11,a12,a13）^T
a2=（a21,a22,a23）^T
a3=（a31,a32,a33）^T
P=（a1，a2，a3）
=
a11,a21,a31
a12,a22,a32
a13,a23,a33

PΛ=
a11,a21,a31
a12,a22,a32
a13,a23,a33
×
λ1,0,0
0, λ2,0
0,0, λ3
=
λ1a11, λ2a21， λ3 λ 31
λ1a12, λ2a22， λ3 λ 32
λ1a13, λ2a23， λ3 λ 33
=（ λ1a1， λ2a2, λ3a3 ）

追问

按照题意P应该是由B的特征向量组成的吧，但是B的特征向量为什么会和A的相同?这是巧合吗?

追答

线性代数题目 已知矩阵A，B=A^2+2A+E.求可逆矩阵P使得P^-1线性代数题目 已知矩阵A，B=A^2+2A+E.求可逆矩阵P使得P^-1BP为对角矩阵，已知a1，a2，a3是属于A的三个特征值的特征向量。为什么P=(a1,a2,a3)?

题目如上。P是A的特征向量组成的。

他们的特征值不同。B是有A经过运算得来的，当然相关。

追问

所以B的特征向量不一定等于A的特征向量?

追答

不等

追问

好的，谢谢你

还有一道问题，你会吗?如果向量组a1,a2…as可以由向量组β1,β2…βt线性表示。证明:r(a1,a2,…,as)≤r(β1,β2...βt)

追答

有定理，向量组的秩是r，向量组可以用r个线性无关向量表示。
反证法，如果向量组a的秩ra>向量组β的秩rβ，则向量组在所有向量，至少要ra个线性无关向量才能表示，不可能由线性无关向量最多只有rβ的一组向量表示。
因此，ra≤rβ