Question

对数法求极限

请问大家，图中的第二步是怎么来的？
为什么取完对数后分子会变成
esp[ln(x+1/x]-1
应该是
esp[ln(x+1/x]-e
才对啊
因为 e^(ln e) 就是等于e嘛，
是他做错了，是吗?
谢谢大家了

Answer 1

做错了。
只能对 (1+x)^(1/x) 进行变形，变成
e^ [ ln (1+x) /x ].
对数的运算法则中，没有 ln (a+b) 和 ln (a-b).

= = = = = = = = =
解：令 g(x) =(1 +x)^(1/x),
则 ln g(x) =(1/x) *ln (1+x),
两边求导,
g'(x) /g(x) =(-1 /x^2) *ln (1+x) +(1/x) *1/(1+x)
= -ln (1+x) /x^2 +1 /[ x(1+x) ]
= [ x -(1+x) ln (1+x) ] / [ x^2 (1+x) ]

所以 g'(x) =g(x) * ...

由洛必达法则,
原式 =lim (x→0) [ g(x) -e] /x
=lim (x→0) g'(x) /1
=e *lim (x→0) ...
= ...

(继续用洛必达法则，或用泰勒展开式求 ln (1+x)，最后用等价无穷小量。)