Question

计算一个简单二重积分

计算一个简单二重积分打圈的地方没看懂

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Answer 1

先把x看做常数，对y积分，即 xy，上积分限为1-x，下积分限为0。把y=1-x或y=0代入xy，前者减后者。求得 x-x的平方。
再对 x-x的平方 积分，
即 二分之一x的平方减三分之一x的三次方，上积分限为1，下积分限为0。代入求得六分之一，最后乘8，得三分之四 。
最后答案三分之四。

Answer 2

解：分享一种解法。设f(x,y)=丨x丨+ye^(x^2)，
∵丨x丨=1-丨y丨，∴-1≤x≤1。去绝对值号后，易得D是y=-x-1、y=x+1、y=1-x、y=x-1组成的正方形区域。
∴原式=∫(-1,0)dx∫(-x-1,x+1)f(x,y)dy+∫(0,1)dx∫(x-1,1-x)f(x,y)dy。
而，∫(-x-1,x+1)f(x,y)dy=∫(-x-1,x+1)[丨x丨+ye^(x^2)]dy=2(x+1)丨x丨、∫(x-1,1-x)f(x,y)dy=∫(x-1,1-x)[丨x丨+ye^(x^2)]dy=2(x-1)丨x丨,
∴原式=2∫(-1,0)(x+1)丨x丨dx+2∫(0,1)(x-1)丨x丨dx=0。供参考。